Сочинение Аполлония <Касания>

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Согласно описанию Паппа, не дошедшее до нас сочинение Апол-

лония <Касания> состояло из двух книг. В этом сочинении решалась

задача: провести окружность, касающуюся трех объектов, которые мо-

гут быть окружностями, прямыми и точками. Эта задача решалась:

1) для трех точек, 2) для двух точек и прямой, 3) для точки и двух

прямых, 4) для трех прямых, 5) для двух точек и окружности, 6) для

точки и двух окружностей, 7) для двух прямых и окружности, 8) для

прямой и двух окружностей, 9) для точки, прямой и окружности,

10) для трех окружностей.

Во II книге решались задачи 7) и 10) и рассматривалось много

частных случаев этих задач. Остальные восемь задач решались в I книге.

Все 10 задач этого сочинения Аполлония можно сформулировать

единообразно: провести окружность, касающуюся трех окружностей

контактной геометрии.

Многие задачи сочинения <Касания> сохранились в арабском пе-

реводе в книге Ибрахима ибн Синана <Избранные задачи>. Некоторые

из них переведены на английский язык (в статье [44]) и на русский

язык (в статье [12]).

В переводе ибн Синана отсутствует изложение задачи 6), в кото-

рой требовалось провести окружность, касающуюся двух окружностей

с центрами A и B и проходящую через точку C (рис. 80, а). По-видимо-

му, Аполлоний решал эту задачу следующим образом. Он производил

инверсию относительно какой-нибудь окружности с центром C. При

этой инверсии точка C переходит в бесконечно удаленную точку, а окружности с центрами A и B—в окружности с центрами K и L. Далее проводилась прямая MN, касающаяся этих двух окружностей в точках M и N (рис. 80, б). Затем та же инверсия производилась еще раз. При этом

бесконечно удаленная точка переходила в точку C, окружности с центрами K и L переходили

в окружности с центрами A и B, прямая MN

переходила в окружность CDE, касающуюся двух данных окружностей.

Как видно из перевода ибн Синана, Аполлоний начал рассмотрение задачи 10) с того случая, когда три окружности с центрами A, B и C имеют один и тот же радиус r (рис. 81).

Аполлоний проводил окружность ABC, и искомая окружность имела тот же центр, что окружность ABC, и радиус, меньший радиуса окружности ABC на величину r.

Общий случай, когда окружности с центрами A, B и C имеют радиусы r1, r2 и r3

(рис. 82), Аполлоний сводил к задаче 6) о проведении окружности, которая проходит через точку и касается двух окружностей. Для этого в случае, когда r3 —наименьший из радиусов, Аполлоний строил окружности с центрами A и B и радиусами r1

−r3 и r2

−r3 и проводил

через точку C окружность, касающуюся этих двух окружностей. Искомая окружность имеет тот же центр, что и окружность, проходящая через точку C, и радиус, меньший радиуса этой окружности на величину r3.

Заметим, что Ф. Виет в своей реконструкции <Касаний> Аполлония также сводил задачу о проведении окружности, касающейся трех данных окружностей, к задаче о проведении через данную точку окружности, касающейся двух данных окружностей.