Пучки окружностей

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Папп в VII книге <Математического собрания> писал, что в на-

чале II книги сочинения Аполлония <Плоские геометрические места>

доказываются следующие предложения: <(1) Если две прямые, про-

веденные из двух точек, пересекаются и если квадраты, построенные

на этих прямых, отличаются на данную площадь, то точка их пересече-

ния находится на прямой, известной по положению. С другой стороны,

(2) если эти прямые находятся в данном отношении, то [точка их пересечения] будет находиться на прямой или на дуге [окружности]> [50, с. 498— 499; 51, с. 110—111].

Геометрическое место, определяемое предложением (1), является прямой, перпендикулярной к прямой линии, соединяющей две данные точки. Если A и B— две данные точки, M —произвольная точка определяемого геометрического места, N —основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую AB, то AM2=AN2+NM2, BM2=BN2+HM2 и разность AM2−BM2=AN2−BN2 равна постоянной площади. Геометрическое место, определяемое предложением (2), является прямой в случае, когда отношение проведенных линий равно 1,

и окружностью, если это отношение больше или меньше 1. На рис. 61

изображена такая окружность, для которой отношение расстояний AM

и BM равно 1/2. Такие окружности рассматривались Аристотелем

в <Метеорологике> при доказательстве того, что радуга имеет форму

дуги круга. Аристотель рассматривал Солнце, восходящее в точке H

окружности круга горизонта, наблюдателя, находящегося в центре K

этого круга, и точку M облака, в которой луч HM отражается в виде

отрезка MK. Аристотель считал, что отношение HM к MK постоянно

и писал: <Точки K и H даны, даны прямые HK и MH, а следователь-

но, и отношение MH к MK. Так вот, [оказывается, что точка] M лежит

на окружности; обозначим эту окружность через NM. Ни к какой дру-

гой окружности, кроме MN, нельзя провести прямых из тех же точек

с тем же отношением друг к другу в той же плоскости> [3, с. 522].

Европейские ученые познакомились с этими окружностями

по описанию Паппа <Плоских геометрических мест> Аполлония, по-

этому в настоящее время эти окружности называются окружностями

Аполлония.

В главе 8 мы определили гиперболические и эллиптические ин-

волюции точек на прямой (8.25) и (8.26). Если для каждой пары

соответственных точек этих инволюций построить окружность, для

которой эти точки являются концами диаметра, мы получим пучки

окружностей. Пучок окружностей, определяемый гиперболической ин-

волюцией, называется гиперболическим пучком (рис. 62, а), пучок

окружностей, определяемый эллиптической инволюцией, называется

эллиптическим пучком (рис. 62, б).

Окружности Аполлония образуют гиперболический пучок. Непо-

движными точками инволюции, определяющей этот пучок, являются

те точки, расстояния которых до точек этих окружностей имеют по-

стоянные отношения. Окружности эллиптического пучка проходят

через две точки, расположенные симметрично относительно прямой

инволюции.

Если на сфере проведены параллели и меридианы, то при

стереографической проекции сферы на плоскость из любой точки сферы параллели изображаются окружностями гиперболического пучка, а меридианы—окружностями эллиптического пучка. В частности, при проецировании небесной сферы на плоскость астролябии альмукантараты (параллели горизонта) изображаются окружностями гиперболического пучка, а вертикали— окружностями эллиптического пучка. При этом неподвижными точками гиперболической инволюции и точками пересечения окружностей эллиптического пучка являются изображения зенита и надира—точки, диаметрально противоположной зениту.

Несомненно, что между предложениями (1) и (2) II книги <Плоских геометрических мест> Аполлония имелось более общее предложение. Пусть A и B—две данные точки, и даны отношение γ и площадь c. Требуется найти геометрическое место точек G, для которых GA2−γGB2=c.

Предложение (1)—частный случай этого предложения при γ=1, предложение (2)—частный случай этого предложения при c=0.

В случае, когда γ больше или меньше 1, геометрические места, определяемые этим предложением,—окружности. Доказательство этого общего предложения со ссылкой на Аполлония было приведено в <Избранных задачах> Ибрахима ибн Синана [44, с. 238].

Круговые преобразования и комплексные числа Плоскость комплексного переменного z=x+iy можно рассматривать как евклидову плоскость, причем за расстояние между комплексными числами z1 и z2 принимается модуль |z2

−z1

| их разности

(квадрат модуля |z| комплексного числа z равен произведению zz числа z на комплексно сопряженное число z=x−iy, т. е. |z|2=x2+y2).

Движения плоскости имеют вид

z_=Az+B, z_=Az+B, (10.8)

где |A|=1, подобия плоскости имеют вид (10.8), где |A|_=1.

Плоскость комплексного переменного, дополненную бесконечно удаленной точкой, можно рассматривать как конформную плоскость.

Круговые преобразования этой плоскости можно записать в виде

z_=Az+B

Cz+D

, z_=Az+B

Cz+D

. (10.9)

На плоскости комплексного переменного можно определить двойные отношения четверок точек:

W(z1, z2; z3, z4)=

z4

−z1

z2

−z4

:

z3

−z1

z2

−z3

. (10.10)

В случае, когда все числа zi вещественны, двойное отношение

(10.10) совпадает с двойным отношением (8.9). При круговых пре-

образованиях (10.9) двойные отношения четверок точек сохраняются

или заменяются комплексно сопряженными числами. Поэтому в слу-

чае, когда все четыре точки zi лежат на одной окружности, двойное

отношение (10.10) вещественно. Двойные отношения четверок точек

на окружностях связаны с вещественными или мнимыми углами меж-

ду окружностями, определяемыми этими четверками точек, как это

показано на рис. 57, а—в, соотношениями (8.10) и (8.11).

Произвольные конформные преобразования плоскости определя-

ются дифференцируемыми функциями комплексного переменного w=

=f(z), обладающими производными dw/dz, и функциями w=f(z), по-

лучаемыми из дифференцируемых функций w=f(z) переходом к ком-

плексно сопряженным числам. В случае таких функций дифференци-

алы dz и dw связаны соотношениями

dw=a dz, dw=a dz, (10.11)

где a—комплексное число. Так как соотношения (10.11)—частные

случаи соотношений (10.8), преобразования (10.11) являются подо-

биями, откуда вытекает конформность отображений, определяемых

указанными функциями. Так как первая из функций (10.9)—алгебра-

ическая функция, обладающая производной, все круговые преобразо-

вания плоскости—в частности, инверсии относительно окружностей—

являются конформными преобразованиями.