Круговые преобразования

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Если мы дополним евклидову плоскость не бесконечно удаленной

прямой, как это делалось при определении проективной плоскости,

а одной бесконечно удаленной точкой, мы получим конформную

плоскость. Конформная плоскость находится во взаимно однозначном

и взаимно непрерывном соответствии со сферой, такое соответствие

устанавливается стереографической проекцией сферы на плоскость,

рассмотренной нами в главе 4. При этой проекции бесконечно удален-

ной точке конформной плоскости соответствует полюс сферы, являю-

щийся центром стереографической проекции.

Ту роль, которую на проективной плоскости играют прямые,

на конформной плоскости играют окружности. Прямые конформной

плоскости считаются окружностями, проходящими через ее бесконечно

удаленную точку. Они, как обычные окружности, определяются тре-

мя точками—двумя точками прямой линии и бесконечно удаленной

точкой.

Круговыми преобразованиями конформной плоскости называются

взаимно однозначные преобразования этой плоскости, переводящие

окружности в окружности.

При стереографической проекции окружности на плоскости соот-

ветствуют окружностям на сфере, т. е. пересечениям сферы с плос-

костями. Поэтому круговые преобразования конформной плоскости

изображаются такими преобразованиями сферы, которые определяются

на ней проективными преобразованиями пространства, переводящими

эту сферу в себя. При таких преобразованиях сферы сохраняются углы

между линиями на ней, а так как при стереографической проекции

углы между линиями на сфере равны углам между соответственными

линиями на плоскости, при круговых преобразованиях конформной

плоскости также сохраняются углы между линиями.

Наиболее общие преобразования, сохраняющие углы между лини-

ями, называются конформными преобразованиями. Поэтому круговые

преобразования конформной плоскости являются частными случая-

ми конформных преобразований. В пространстве дело обстоит не так.

Жозеф Лиувилль (1809—1882) доказал, что всякое конформное пре-

образование пространства переводит сферы в сферы.

Конформным пространством называется евклидово пространство,

дополненное единственной бесконечно удаленной точкой, причем плос-

кости считаются сферами, проходящими через эту точку. Круговые

преобразования конформной плоскости являются аналогами конформ-

ных преобразований конформного пространства.

Круговые и конформные преобразования плоскости рассматрива-

лись Леонардом Эйлером и Жаном Лероном Даламбером (1717—1783).

Более подробно о конформной геометрии и ее истории см. [16,

с. 480—516; 18, с. 142—143, 145—147].