Фокусы и директрисы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

В <Конических сечениях> Аполлония директрисы конических

сечений не упоминаются, хотя из формул (9.2) и (9.3) следует, что фокальные радиус-векторы точек эллипса могут быть записаны в виде

GE=e

_a

e

−x0

_

, HE=e

_a

e

+x0

_

. (9.6)

а из формул (9.4) и (9.5)—что фокальные радиус-векторы точек

гиперболы могут быть записаны в виде

GE=e

_

x0+a

e

_

, HE=e

_

x0

−a

e

_

. (9.7)

Так как разность a/e−x0 равна расстоянию DE от точки E эллип-

са до прямой x=a/e, а сумма a/e+x0 равна расстоянию FE от точки E

эллипса до прямой x=−a/e (рис. 55, а), равенства (9.6) можно пере-

писать в виде

GE=eDE, HE=eFE. (9.8)

Так как сумма x0+a/e равна расстоянию DE от точки E гипер-

болы до прямой x=−a/e, а разность x0

−a/e равна расстоянию FE

от точки E гиперболы до прямой x=a/e (рис. 55, б), равенства (9.7)

также можно переписать в виде (9.8).

Прямые x=−a/e и x=a/e являются директрисами эллипса и ги-

перболы. Равенства (9.8) выражают те же свойства эллипса и гипер-

болы, о которых писал Папп в комментариях к сочинению Евклида

<Геометрические места на поверхностях>.

Аналогичное свойство параболы—равенство фокальных радиус-

векторов ее точек расстояниям этих точек от директрисы—в <Ко-

нических сечениях> не упоминается. По-видимому, Папп написал

эти комментарии на основе предложения III50 <Конических сечений>

и теоремы о равенстве фокальных радиус-векторов точек параболы

расстояниям от этих точек до директрисы. В случае окружности фо-

кусы совпадают с ее центром, а директрисы—с бесконечно удаленной прямой. Во всех случаях директрисы конических сечений являются полярами их фокусов.

Заметим, что Жерминаль Пьер Данделен (1794—1847) доказал, что

фокусы и директрисы конических сечений можно получить следующим

образом. Если коническое сечение высекается плоскостью из поверх-

ности прямого кругового конуса, Данделен вписывал в коническую

поверхность сферы, которые касаются этой поверхности по окружно-

сти, а плоскости конического сечения касаются в одной точке. Тогда

точки касания сфер Данделена с плоскостью являются фокусами ко-

нического сечения, а плоскости окружностей касания сфер Данделена

с конической поверхностью высекают из плоскости конического сече-

ния директрисы этого сечения. На рис. 56, а—в изображены сферы

Данделена для эллипса, гиперболы и параболы.