Фокальные радиус-векторы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Отрезки GE и HE, соединяющие фокусы эллипса и гиперболы

с точками E этих конических сечений, в современной геометрии на-

зываются фокальными радиус-векторами точек E.

В предложении III50 Аполлоний доказывает, что если провести

из центра O эллипса или гиперболы прямые OL и OM, параллельные

фокальным радиус-векторам точек E, до касательных в этих точ-

ках, то прямые OL и OM будут равны полуоси a эллипса или ги-

перболы.

Если мы продолжим оси эллипса или гиперболы и касательные

в их точках E до их пересечения в точках K (рис. 51, а—г), мы

получим подобные треугольники KGE, KOL и KHE, KOM.

В случае эллипса (6.16) касательная в точке E с координатами

x0, y0 определяется уравнением (8.21), поэтому абсцисса x точки K

равна a2/x0.

Расстояние OG равно ae, где e—эксцентриситет эллипса. Поэто-

му KG=a2/x0

−ae. Из подобия треугольников KGE и KOL следует, что

GE=OLKG

OK

=

a

_

a2

x0

−ae

_

a2

x0

=a−ex0. (9.2)

Аналогично находим, что в случае эллипса

HE=a+ex0. (9.3)

В случае гиперболы (6.18) касательная в ее точке E с координата-

ми x0, y0 определяется уравнением (8.22), поэтому абсцисса x точки K

равна a2/x0.

Расстояние OG равно ae, где e—эксцентриситет гиперболы. Поэто-

му KG=ae+a2/x0. Из подобия треугольников KGE и KOL следует, что

GE=OLKG

OK

=

a

_

a2

x0

+ae

_

a2

x0

=ex0+a. (9.4)

Аналогично находим, что в случае гиперболы

HE=ex0

−a. (9.5)

Предложение III50 равносильно тому, что фокальные радиус-век-

торы точек эллипса имеют вид (9.2) и (9.3), а фокальные радиус-

векторы точек гиперболы имеют вид (9.4) и (9.5).

На основании этой теоремы в предложении III51 Аполлоний до-

казывает, что разность фокальных радиус-векторов точек гиперболы

и противоположной гиперболы постоянна и равна вещественной оси

гиперболы (рис. 52, а), а в предложении III52 доказывает, что сумма

фокальных радиус-векторов точек эллипса постоянна и равна большой

оси эллипса (рис. 52, б). Утверждение предложения III51 вытекает

из формул (9.4) и (9.5), а утверждение предложения III52—из фор-

мул (9.2) и (9.3).

Последнее утверждение лежит в основе <способа садовника> созда-

ния клумб, имеющих форму эллипса, состоящего в том, что в фокусы

эллипса вбиваются два кола, к ним привязывается веревка, имеющая

длину большой оси эллипса, веревка натягивается палкой с острым

концом, которым на земле вычерчивается заданный эллипс.