Пересечения конических сечений

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Предложения IV24—IV57 являются теоремами

о пересечениях и касаниях конических сечений.

В предложении IV24 Аполлоний доказывает,

что два конических сечения не могут иметь об-

щей дуги.

В предложении IV25 доказывается, что число точек пересечения

двух конических сечений, являющихся эллипсами, параболами и ги-

перболами, не может быть больше четырех (рис. 42, а—в).

В предложениях IV38, IV40, IV44, IV46 и IV55 доказывается, что

число точек пересечения пары противоположных гипербол с другой

парой противоположных гипербол или с другим коническим сечением

также не может быть больше четырех (рис. 42, г, д).

Циклические точки проективной плоскости

Аполлоний часто употреблял выражения <конические сечения>

и <окружность круга>. Эти слова показывают, что он не рассматривал

окружности как частные случаи эллипса, так как античные мате-

матики называли окружности <плоскими геометрическими местами>,

а конические сечения—<телесными геометрическими местами>, поэто-

му у античных математиков не возникал вопрос, почему окружности

пересекаются только в двух точках и куда исчезли две другие точки

пересечения окружностей. Ж. В. Понселе, который рассматривал бесконечно удаленные

и мнимые точки проективной плоскости, доказал, что на бесконечно

удаленной прямой проективной плоскости имеются две мнимые точ-

ки, через которые проходят все окружности.

В самом деле, уравнение окружности с центром в точке с коорди-

натами x0, y0 и радиусом r

(x−x0)2+(y−y0)2=r2 (8.29)

можно записать в форме уравнения (6.23) в виде

A(x2+y2)+2Dx+2Ey+F=0 (8.30)

или в проективных координатах

A((x1)2+(x2)2+2Dx1x3+2Ex2x3+F(x3)2)=0. (8.31)

Пересечение кривой (8.30) с бесконечно удаленной прямой x3=0

определяется уравнением

(x1)2+(x2)2=0. (8.32)

Уравнение (8.32) определяет пару мнимо сопряженных бесконеч-

но удаленных точек одних и тех же окружностей. Эти точки Понселе

назвал <циклическими точками> проективной плоскости.

Касание конических сечений

В предложениях IV26 и IV56 Аполлоний доказывает, что если

два конических сечения или две пары противоположных гипербол

касаются в одной точке, они могут иметь не более двух других общих

точек.

Эти предложения показывают, что точка касания двух конических

сечений равносильна двум точкам их пересечения.

В предложениях IV27 и IV57 доказывается, что если два кони-

ческих сечения или две пары противоположных гипербол касаются

в двух точках, они не могут иметь других общих точек (рис. 43, а—в).

В предложении IV30 доказывается, _____что две параболы могут касать-

ся друг друга только в одной точке. В этом случае параболы имеют

общую бесконечно удаленную точку, в которой касаются друг друга

и бесконечно удаленной прямой.

В предложении IV34 доказывается, что если два эллипса с одним

и тем же центром касаются друг друга в двух точках, то прямая,

соединяющая точки касания, является диаметром эллипса.

Аналогичное предложение имеет место для двух пар противопо-

ложных гипербол, но Аполлоний не доказывает эту теорему.

В предложениях о касаниях конических сечений Аполлоний рас-

сматривает только такие случаи, когда точки касания получаются

слиянием двух точек пересечения и не рассматривает точки касания,

которые получаются слиянием трех или четырех точек пересечения.

Точки касания, которые получаются слиянием более двух то-

чек пересечения, были открыты в XIX—XX вв., ими являются точки

касания орицикла и соприкасающейся параболы плоскости Лобачев-

ского с абсолютным коническим сечением этой плоскости (см. [17,

с. 181—182]).

Определение конического сечения по пяти точкам

Так как конические сечения пересекаются не более чем в четырех

точках, коническое сечение можно однозначно определить по пяти

точкам.

Пусть заданы точки A, B, C, D, E. Рассмотрим геометрическое место точек к прямым AB, BC, CD, DA. Обозначим расстояние

от точки плоскости с координатами x, y до этих прямых, соответ-

ственно, d1, d2, d3, d4. Точка A удовлетворяет условиям d4=d1=0,

точка B удовлетворяет условиям d1=d2=0, точка C удовлетворяет

условиям d2=d3=0 и точка D удовлетворяет условиям d3=d4=0. По-

этому точки A, B, C, D удовлетворяют уравнению (6.31) при любом

значении k. Конические сечения, проходящие через эти четыре точ-

ки, покрывают всю плоскость и образуют пучок конических сечений.

Поэтому можно найти такое значение k, при котором коническое се-

чение пучка проходит через точку E. Это и будет коническое сечение,

проходящее через пять данных точек (рис. 44).

Коэффициенты уравнения (6.23) этого конического сечения можно найти следующим образом. Если подставить в это уравнение координаты пяти данных точек, мы получим пять линейных уравнений с пятью неизвестными, которые являются отношениями коэффициентов уравнения (6.23) к одному из этих коэффициентов.

В том случае, когда точки C и D—циклические точки проективной плоскости, все конические сечения пучка являются окружностями и образуют пучок окружностей, проходящий через точки A и B.

Построение конического сечения с помощью проективного соответствия между пучками прямых Предложение III53 формулируется следующим образом: <Если в гиперболе, эллипсе, окружности круга или в противоположных гиперболах проведены в концах одного диаметра параллели к одной из ординат и если прямые, проведенные из тех же концов [диаметра] к одной и той же точке линии [конического сечения], пересекают эти параллели, то прямоугольник под отсеченным и таким образом прямыми равен эйдосу, приложенному к тому же диаметру.

Пусть ABC —одно из сечений, о которых мы будем говорить, AC —его диаметр. Проведем [прямые] AD, CE параллельно одной из ординат (рис. 45, а, б). Проведем [прямые] ABE

и CBD. Я утверждаю, что [прямоугольник] ,,под AD, EC“ равен эйдосу, приложенному к AC> [25, т. 2, с. 256].

В случае эллипса (6.16) проведем ординату GB точки B

(рис. 45, а). Тогда GB=y, AG=a−x, GC=a+x. Из подобия тре-

угольников GBC и ADC следует, что z=AD=2ay/(a−x), из подобия

треугольников AGB и ACE следует, что z_=CE=2ay/(a+x). Поэтому

zz_= 4a2y2

a2−x2= 4y2

1−x2

a2

=4y2

y2

b2

=4b2.

То же рассуждение применимо и к окружности, где a=b и пло-

щадь эйдоса равна a2.

В случае гиперболы и пары противоположных гипербол (6.18)

также проведем ординату GB точки B (рис. 45, б). Тогда GB=y, AG=

=x+a, GC=x−a. Из подобия треугольников GBC и ADC следует, что

z=AD=2ay/(x−a), из подобия треугольников AGB и ACE следует, что

z_=CE=2ay/(x+a). Поэтому

zz_= 4a2y2

x2−a2= 4y2

x2

a2

−1

=4y2

y2

b2

=4b2.

Равенство z_=4b2/z является частным случаем соотношения (8.14). Поэтому произвольная точка B эллипса, гиперболы, окружности и пары противоположных гипербол является точкой пересечения соответственных прямых двух пучков с центрами A и C, которые находятся в проективном соответствии.

Предложение III54 формулируется следующим образом: <Если две касательные прямые к коническому сечению или к окружности круга пересекаются, если через их точки касания проведены параллели к касательным и если из точек касания к одной и той же точке линии [конического сечения] проведены прямые, пересекающие эти параллели, то отношение прямоугольника под [отсеченными] отрезками к квадрату прямой линии, соединяющей точки касания, составлено из отношения квадрата внутреннего отрезка прямой, соединяющей точку пересечения касательных с серединой прямой линии, к квадрату оставшегося отрезка и из отношения прямоугольника под касательными к четверти квадрата линии, соединяющей точки касания.

Пусть ABC —коническое сечение или окружность круга, и пусть AD и CD—касательные (рис. 46). Соединим точки A и C, разделим AC на две равные части в E и проведем [прямую] DBE. Из A проведем [прямую] AG, параллельную CD, а из C —[прямую] CH, параллельную AD. Возьмем на линии [конического сечения] точку F, соединим AF и CF и продолжим AF и CF до [точек] H и G. Я утверждаю, что отношение [прямоугольника] ,,под AG, CH“ к [квадрату] ,,над AC“

составлено из отношения [квадрата] ,,над EB“ к [квадрату] ,,над BD“ и из отношения [прямоугольника] ,,под ADC“ к четверти [квадрата] ,,над AC“, т. е. к [прямоугольнику] ,,под AEC“> [25, т. 2, с. 258—260].

В этом предложении также рассматриваются два пучка прямых с центрами A и C, являющимися точками конического сечения.Между прямыми этих пучков установлено соответствие, при котором прямая AC первого пучка соответствует прямой CD второго пучка касательной к коническому сечению, прямая AD первого пучка, касательная к коническому

сечению, соответствует прямой CA второго пучка, а прямая AF первого

пучка, проходящая через произвольную точку F конического сечения,

соответствует прямой CF второго пучка. Прямые первого пучка пересе-

каются с прямой CH, параллельной касательной AD, а прямые второго

пучка пересекаются с прямой AG, параллельной касательной CD.

В этом предложении доказывается, что отношение AGCH/AC2 со-

ставлено из отношений EB2/BD2 и ADDC/AE2. Так как линии AC=2AE,

EB, BD, AD и DC постоянны, отсюда следует, что произведение AGCH

является постоянной величиной при любом положении точки F на ко-

ническом сечении, что можно записать в виде zz_=K, т. е. z_=K/z.

Так как это равенство является частным случаем соотношения

(8.14), соответствие между пучками прямых с центрами A и C является

проективным.

В предложениях III55—III56 доказываются аналогичные теоремы

для пар противоположных гипербол для случаев, когда две касатель-

ные проведены в точках обеих гипербол, и когда две касательные

проведены в точках одной гиперболы.