Принцип двойственности

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Прямые линии на проективной плоскости определяются линейны-

ми уравнениями

u1x1+u2x2+u3x3=0. (8.12)

Коэффициенты ui уравнения (8.12) называют <тангенциальными

координатами> прямой линии. Эти координаты, так же как проек-

тивные координаты xi точек, определены с точностью до ненулевого

множителя. Поэтому на проективной плоскости имеет место прин-

цип двойственности, в силу которого точки соответствуют прямым

линиям и обратно, и наряду с каждой теоремой имеет место двойствен-

ная ей теорема, в которой слово <точка> заменено словами <прямая

линия>, слова <прямая линия>—словом <точка>, выражение <точка

лежит на прямой>—выражением <прямая проходит через точку>, вы-

ражение <прямая проходит через точку>—выражением <точка лежит

на прямой>. Поэтому по принципу двойственности совокупность точек

прямой линии соответствует пучку прямых, проходящих через точку.

Будем называть совокупность точки и прямой линии, не про-

ходящей через нее, <ноль-парой>, а совокупность точки и прямой,

проходящей через нее,—<вырожденной ноль-парой>. Центр и ось

гомологии (8.6) образуют ноль-пару, центр и ось гомологии (8.7) обра-

зуют вырожденную ноль-пару, невырожденные и вырожденные ноль-

пары по принципу двойственности соответствуют самим себе.

Кроме проективных преобразований (8.3), называемых <коллине-

ациями>, в современной геометрии рассматривают другой вид пре-

образований, при котором точки переходят в прямые линии, а прямые

линии—в пучки прямых линий. Эти преобразования называются

<корреляциями> и имеют вид

ui=P

j

Aijxj, i,j=1, 2, 3. (8.13)

Проективные соответствия

между прямыми и пучками прямых

Мы видели, что при проективных преобразованиях плоскости со-

храняются двойные отношения четверок точек на прямых. Поэтому

соответствие между двумя прямыми, сохраняющее двойные отношения

четверок точек, называется проективным соответствием между эти-

ми прямыми. Простейший случай такого соответствия получается при

проецировании одной прямой на другую из некоторой точки, такое со-

ответствие двух прямых называется перспективным.

Проективное соответствие между двумя прямыми, как и проек-

тивное преобразование прямой, в аффинных координатах может быть

записано в виде

x_=Ax+B

Cx+D

. (8.14)

Если прямые пучка с центром O пересекаются с некоторой прямой

в точках M, N, P, Q, то двойное отношение W(M, N; P, Q) называется

также двойным отношением четырех прямых OM, ON, OP, OQ пучка.

Соответствие между двумя пучками прямых, сохраняющее двойные

отношения четверок прямых, называется проективным соответствием

между двумя пучками прямых.

Проективные преобразования конических сечений

На проективной плоскости параболы, эллипсы и гиперболы опре-

деляются в проективных координатах уравнениями одного и того же типа

P

i

P

j

Aijxixj=0, i,j=1, 2, 3. (8.15)

Если в аффинных координатах коническое сечение определяется

уравнением (6.23) и аффинные координаты связаны с проективными

соотношениями (8.2), то коэффициенты уравнений (8.15) и (6.23)

связаны соотношениями

A=A11, B=A12, C=A22, D=A13, E=A23, F=A33. (8.16)

Уравнение (8.15), как и уравнение (6.23), кроме парабол, элли-

псов и гипербол может определять также пары вещественных, мнимых и совпадающих прямых и мнимые конические сечения. В последнем

случае бесконечно удаленная прямая делит гиперболу на две ветви.

Коллинеации (8.3) переводят бесконечно удаленную прямую в лю-

бую прямую проективной плоскости. Поэтому коллинеации проектив-

ной плоскости переводят эллипсы в параболы и гиперболы.

В том случае, когда коническое сечение (8.15) не имеет общих

точек с бесконечно удаленной прямой, касается этой прямой или пе-

ресекается с этой прямой в двух точках, коническое сечение является,

соответственно, эллипсом, параболой, гиперболой. Асимптоты гипербо-

лы являются касательными к ней в ее бесконечно удаленных точках.

Гармонические четверки точек

В том случае, когда W(M, N; P, Q)=−1, четверка точек M, N, P,

Q называется гармонической четверкой; говорят также, что пара точек

P, Q гармонически разделяет пару точек M, N.

Гармонические четверки были известны еще в древности. В ком-

ментариях Паппа к <Поризмам> Евклида приводится доказательство

того, что диагонали AF и BD полного четырехсторонника ABCDEF

(рис. 36) высекают на его третьей диагонали CE пару точек G, H, ко-

торая гармонически разделяет пару точек C, E [50, с. 677—678; 51,

с. 264—267].

В том случае, когда одна из четырех точек является бесконечно

удаленной, три остальные точки являются концами двух равных от-

резков. В самом деле, если из четырех точек M, N, P, Q точка P

устремляется в бесконечность, отношение MP/PN стремится к −1

и в пределе W(M, N; P, Q)=MQ/QN=1 и MQ=QN.

Так как в древности математики не знали отрицательных чисел и не рассматривали длин ориентированных отрезков, они не разли-

чали знаков двойных отношений и в случае, когда пара точек P, Q

гармонически разделяет пару M, N, говорили, что отношение MP/PN

такое же, как отношение MQ/QN.

Гармонические четверки часто встречаются в I, III и IV книгах <Конических сечений>. В предложениях IV1, IV9 и IV15 Аполлоний называл два отношения, составляющие двойное отношение гармонической четверки, выражением homologous, состоящим из слов homos—<тот же самый> и logos—< отношение>. От этого выражения произошли слова <гомологичный>, <гомологический> и <гомология>, в которые в разные времена вкладывали различный смысл.

Термин <гомология> в смысле вида проективного преобразования был введен Ж. В. Понселе в начале XIX в. По аналогии с этим термином М. Шаль предложил называть произвольное проективное преобразование <гомографией> (homographie). Отсюда произошло итальянское название homografia для линейных операторов.

В частности, Чезаре Бурали-Форти (1861—1931) определил <главную гомографию>, связанную с каждой точкой поверхности. Если поверхность задана векторным уравнением −→x=−→x (u, v), то в каждой точке этой поверхности определены касательная плоскость и единичный нормальный вектор −→n. Дифференциалы

−→

dx и

−→

dn направлены

по касательной плоскости и

−→

dn является линейной вектор-функцией

дифференциала

−→

dx

−→

dn=K

−→

dx, (8.17)

где K —<главная гомография> Бурали-Форти, в названии которой ви-

ден след термина Аполлония.

Основатель алгебраической топологии Анри Пуанкаре (1854—

1912) назвал гомологией важнейшие понятия этой математической

дисциплины. Анри Картан (р. 1904) и др. создали различные разделы

<гомологической алгебры>.

Термин <гомологичный> в смысле <соответственный> употреблялся

Д. И. Менделеевым в химии и Н. И. Вавиловым—в биологии.

Проективные образы симметрии

Коллинеация (8.3) инволютивна в том случае, если она является

гомологией (8.6) при A11

=−1. Эта гомология называется проективной

симметрией относительно ноль-пары, состоящей из оси и центра этой

гомологии.

Если проективная симметрия относительно ноль-пары, состоящей

из прямой a и точки A, переводит точку M в точку N, прямая MN

проходит через точку A и пересекает прямую a в такой точке B, что

пара точек M, N гармонически разделяет пару точек A, B.

Поэтому на проективной плоскости образами симметрии являются

ноль-пары.

Корреляция (8.13) инволютивна в том случае, когда матрица (Aij)

симметрична. Эта корреляция связана с коническим сечением, урав-

нение которого (8.15) имеет те же коэффициенты A и называется

<полярным преобразованием> относительно этого конического сечения.

Корреляции переводят точки в прямые, а прямые—в точки, поэто-

му корреляции переводят ноль-пары в ноль-пары. Если рассматривать

проективную плоскость не как множество точек, а как множество

ноль-пар, корреляцию (8.13) можно считать проективной симметрией

относительно конического сечения (8.15). В этом случае конические

сечения являются образами симметрии.

Если полярное преобразование (8.13) переводит точку A в пря-

мую a, то в современной проективной геометрии точку A называют

<полюсом прямой a> и прямую a—<полярой> точки A.

Если точка A определяется проективными координатами xi

0, то

тангенциальные координаты ui поляры a этой точки равны P

j

Aijxj0

и уравнение этой поляры имеет вид

P

i

P

j

Aijxi

0xj=0, i,j=1, 2, 3. (8.18)

Если точка A определяется аффинными координатами x0, y0, то

из формулы (8.18) следует, что уравнение поляры a точки A относи-

тельно конического сечения (6.23) имеет вид

Ax0x+B(x0y+y0x)+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0. (8.19)

В случае параболы (5.4), эллипса (6.16) и гиперболы (6.18) урав-

нение поляры (8.19), соответственно, принимает вид

y0y=p(x+x0), (8.20)

x0x

a2 +

y0y

b2 =1, (8.21)

x0x

a2

−y0y

b2 =1. (8.22)

Если A и a—полюс и поляра относительно некоторого коническо-

го сечения, то при проективной симметрии относительно ноль-пары,

состоящей из точки A и прямой a, это коническое сечение переходит

в себя. Поэтому, если через точку A провести любую прямую, пересе-

кающую прямую a точке B, а коническое сечение—в точках C и D,

то пара точек A, B гармонически разделяет пару точек C, D.

Если точка A является точкой конического сечения, то полярное

преобразование относительно этого сечения переводит точку A в ка-

сательную к сечению в этой точке. Поэтому уравнение касательной

к коническому сечению (8.15) в точке с проективными координа-

тами xi

0 имеет вид (8.18), а уравнение касательной к коническому

сечению (6.23) в точке с аффинными координатами x0, y0 имеет

вид (8.19).

Из того, что центр конического сечения является серединой его

поперечной стороны, следует, что концы этой стороны гармонически

разделяют пару точек, состоящую из центра сечения и бесконечно

удаленной точки диаметра. Поэтому бесконечно удаленную прямую

следует рассматривать как поляру центра конического сечения отно-

сительно этого сечения.

Образами симметрии проективной прямой являются пары точек.

Проективная симметрия относительно пары точек A, B проективной

прямой, переводящая точку X этой прямой в точку X_ , определяется

соотношением

W(A, B; X, X_)=−1. (8.23)

Проективная симметрия (8.23) может быть записана в аффинных

координатах a, b, x, x_ точек A, B, X, X_ в виде

x_=2ab−(a+b)x

a+b−2x

. (8.24)

В случае, когда a=1, b=−1, симметрия (8.24) принимает вид

x_=1/x, в случае, когда a=0, b=0, принимает вид x_=−x.

Образы симметрии проективной прямой могут быть как веще-

ственными, так и мнимо сопряженными парами точек, в последнем

случае сумма a+b, произведение ab и, следовательно, преобразование

(8.24) вещественны.

Проективные симметрии относительно пар точек прямой назы-

ваются инволюциями. Термин <инволюция> был введен Дезаргом,

от этого слова произошло выражение <инволютивное преобразование>.

Инволюция (8.24) может быть приведена к виду

x_=c2/x (8.25)

или к виду

x_=−c2/x. (8.26)

Инволюция (8.25) является симметрией относительно пары точек

с координатами c и −c и называется гиперболической инволюцией.

Инволюция (8.26) является симметрией относительно пары мнимо

сопряженных точек с координатами ic и −ic и называется эллиптиче-

ской инволюцией.

Если на проективной плоскости заданы прямая и коническое се-

чение, то на этой прямой определяется инволюция, в которой всякой

точке X прямой соответствует точка X_ пересечения прямой с полярой

точки M относительно конического сечения. Эта инволюция—гипер-

болическая, если прямая пересекается с коническим сечением, точки

их пересечения являются неподвижными точками этой инволюции.

Инволюция, определяемая коническим сечением на прямой,—элли-

птическая, если прямая не пересекается с коническим сечением или

если коническое сечение—мнимое.