Популярное за неделю

{featured_books}
диск 4.00 9
shina00.ru
adhdportal.com

Аффинные преобразования конических сечений

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Аналогично предложению VI12 можно доказать, что две гиперболы

с неподобными эйдосами и два эллипса с неподобными эйдосами

переводятся друг в друга аффинным преобразованием.

Если две гиперболы или два эллипса с неподобными эйдосами

не обладают общими осями, их можно перевести в это положение

движением плоскости.

Если оси двух гипербол или двух эллипсов совпадают, то гипер-

болы определяются уравнениями x2/a2−y2/b2=1 и x_2/a_2−y_2/b_2=1,

а эллипсы—уравнениями x2/a2+y2/b2=1 и x_2/a_2+y_2/b_2=1 в си-

стемах прямоугольных координат с началами в центрах конических

сечений и с осями Ox и Oy, направленными по осям этих сечений.

Если мы обозначим a_/a=A и b_/b=E, то первую гиперболу мож-

но перевести во вторую и первый эллипс—во второй аффинным

преобразованием

x_=Ax, y_=Ey. (7.18)

Произведение движения и аффинного преобразования (7.18)

является аффинным преобразование общего вида. Мы уже упомина-

ли, что окружности кругов можно перевести в эллипсы аффинными

преобразованиями. Так как подобия являются частными случаями

аффинных преобразований, то аффинными преобразованиями можно

перевести друг в друга все гиперболы и все эллипсы, причем окруж-

ности кругов следует считать частными случаями эллипсов.

Расположение конических сечений

на поверхности прямого кругового конуса

В предложениях VI28—VI33 Аполлоний показывает, как поместить

на данном прямом круговом конусе коническое сечение, подобное

данному коническому сечению.

В предложении VI28 эта задача решается для параболы. Эта па-

рабола высекается на поверхности конуса плоскостью, параллельной

одной из его прямолинейных образующих.

В предложениях VI29—VI30 эти задачи решаются для гиперболы

и эллипса. Если угол между осью конуса и его прямолинейной обра-

зующей равен α, а эксцентриситет гиперболы или эллипса равен e,

конические сечения высекаются из поверхности конуса плоскостью,

угол β которой с плоскостью основания конуса связан с величинами α

и e соотношениями (6.26).

В предложениях VI31—VI33 Аполлоний строит прямые круговые

конусы, содержащие параболу, гиперболу и эллипс, подобные дан-

ным коническим сечениям. Эти предложения являются обратными для

предложений VI28—VI30.

Сравнение диаметров конических сечений с их осями

В предложениях VII12, VII13 и VII31 доказываются теоремы

о сопряженных диаметрах эллипсов и гипербол. К сопряженным

диаметрам этих конических сечений относятся также предложения

VII25—VII28. Аполлоний формулирует основные утверждения этих

предложений следующим образом.

<В каждой гиперболе линия, равная сумме двух ее осей, меньше

линии, равной сумме двух любых других сопряженных диаметров>

[26, с. 440—441].

<В каждом эллипсе сумма двух его осей меньше суммы двух

любых его сопряженных диаметров> [26, с. 442—443].

<В каждом эллипсе или гиперболе, оси которой неравны, пре-

вышение большей оси над меньшей больше превышения большего

из любых двух сопряженных диаметров над меньшим из них> [26,

с. 444—445].

<В каждой гиперболе или эллипсе прямоугольник, образованный

умножением осей, меньше прямоугольника, образованного умножени-

ем любой пары сопряженных диаметров> [26, с. 444—445].

Несомненно, что в последней формулировке выражения <прямо-

угольник, образованный умножением> принадлежат Сабиту ибн Корре,

так как Аполлоний никогда не применял термин <умножение> к не-

прерывным величинам.

Если мы обозначим оси эллипса и гиперболы 2a и 2b, а сопря-

женные диаметры этих конических сечений 2a_ и 2b_ , утверждения

предложений VII25 и VII26 можно выразить формулой

2a+2b<2a_+2b_ , (7.19)

формулировку предложения VII27 можно выразить формулой

|2a−2b|>|2a_−2b_ |, (7.20)

формулировку предложения VII28 можно выразить формулой

2a2b<2a_ 2b_ . (7.21)

Эти предложения основаны на том, что большая ось 2a эллипса

является наибольшим из его диаметров, малая ось 2b эллипса—наи-

меньшим из его диаметров, а ось 2a гиперболы—наименьший из ее

диаметров. Если обозначить диаметры эллипса и гиперболы, отличные

от их осей, через 2a_ и 2b_ , эти соотношения для эллипса и гиперболы

можно записать, соответственно, в виде

2a>2a_ , 2b<2b_ , (7.22)

2a<2a_ , 2b<2b_ . (7.23)

Неравенства (7.22) равносильны неравенствам

2a>2a_ , −2b>−2b_. (7.24)

Неравенство (7.21) для гиперболы и эллипса можно получить,

перемножая левые и правые части неравенств (7.23) и (7.24). Неравен-

ство (7.19) для гиперболы можно получить, складывая левые и правые

части неравенств (7.23). Неравенство (7.20) для эллипса можно полу-

чить, складывая правые и левые части неравенств (7.24). Неравенство

(7.19) для эллипса является следствием неравенства (7.21) и предло-

жения VII12. Неравенство (7.20) для гиперболы является следствием

неравенства (7.21) и предложения VI13.

Аполлоний не указывает, что предложения VII26—VII28 справед-

ливы для гиперболы не только для сопряженных диаметров, но и для

произвольных диаметров, не являющихся осями.