Касательные к коническим сечениям

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

При выводе уравнений (5.4), (5.5) и (5.6) Аполлоний рассматривал только ось абсцисс конического сечения—один из диаметров этого сечения, абсциссы точек конического сечения—отрезки, отсекаемые на диаметре от вершины сечения, и ординаты этих точек— половины хорд сечения, которые диаметр делит пополам. При выводе этих уравнений Аполлоний не рассматривал оси ординат—касательной к коническому сечению в его вершине.

Эта касательная появляется только в предложении I17. <Если в коническом сечении провести из вершины этой линии прямую, параллельную одной из ординат, она попадет во внешнюю область сечения>

[25, т. 1, с. 258]. Теорема доказывается от противного: предполагается, что прямая, проведенная из вершины A конического сечения параллельно ординатам, находится во внутренней области этого сечения.

Тогда эта прямая пересечет коническое сечение в некоторой точке C.

Но ордината точки C соединяет эту точку с некоторой точкой диаметра, находящейся во внутренней области сечения, и не может пройти через вершину A. Аполлоний заканчивает доказательство этого предложения словами о прямой, проведенной из вершины A параллельно ординатам: <Она попадет во внешнюю область и, следовательно, будет касательной к сечению> [25, т. 1, с. 258].

Здесь Аполлоний распространил на конические сечения определение касательной к окружности, данное Евклидом в предложении III16

<Начал>.

Аполлоний также распространил на конические сечения понятия внешних и внутренних точек и областей окружности. Под внешней точкой конического сечения он имел в виду такую точку, из которой можно провести касательную к сечению, а под внутренней точкой—такую точку, из которой касательную к коническому сечению провести нельзя.

В современной геометрии касательная к кривой определяется как

предельное положение секущей при стремлении одной из двух точек ее

пересечения с кривой к другой из этих точек. Определение Аполлония,

по существу, совпадает с этим определением, так как при стремлении

прямой, проведенной в направлении ординат конического сечения,

к его вершине, эта прямая пересекается с сечением в двух точках,

находящихся по разные стороны диаметра, и эти точки сливаются

в вершине сечения.

Аполлоний снова рассматривает касательную к коническому се-

чению в предложении I32: <Если через вершину конического сечения

провести прямую, параллельную одной из ординат, она будет ка-

сательной к сечению, и никакая другая прямая не попадет между

коническим сечением и этой прямой> [25, т. 1, с. 282—284].