Евклид

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
85 86 87 88 89 90 91 92 93 

Евклид жил в середине IV в.—конце III в. до н. э. Главный

труд Евклида <Начала> (Stoicheia) представлял собой свод почти всех знаний античных математиков по элементарной геометрии и теорети-

ческой арифметике.

<Начала> Евклида состоят из 13 книг. В I книге изложены основы

планиметрии, во II книге—геометрическая алгебра, в III книге—уче-

ние о круге, в IV книге—учение о многоугольниках, в V книге—тео-

рия отношений геометрических величин, в VI книге—учение о подо-

бии. VII книга посвящена теории числовых отношений, VIII книга—

теории делимости чисел, IX книга—учению о простых и совершенных

числах, X книга—теории иррациональностей. В XI книге изложены

основы стереометрии, в XII книге—учение о площадях и объемах,

в XIII книге—учение о правильных многогранниках.

Б. Л. ван дер Варден [6, с. 269—270] пришел к выводу, что все

13 книг <Начал> Евклида написаны на основе сочинений греческих

математиков V—IV вв. до н. э.: I—IV и XI книги—обработки <На-

чал> Гиппократа Хиосского, V—VI и XII книги—сочинений Евдокса

Книдского, VII—IX книги—сочинений пифагорейцев, вернее всего,

Архита Тарентского, X и XIII книги—сочинений Теэтета Афинского.

Во введении к I книге даются определения точки, линии, поверх-

ности, прямой линии и плоской поверхности и различных плоских

фигур, а также аксиомы геометрического характера, так называемые

постулаты, и общие аксиомы о сравнении величин. Дополнительные

определения приводятся во введениях к некоторым другим книгам.

Первые три постулата определяют построения идеальным цирку-

лем и идеальной линейкой. IV постулат о том, что все прямые углы

равны, исключает сферическую геометрию, в которой прямые углы

между меридианами и параллелями не наложимы друг на друга. V по-

стулат лежит в основе теории параллельных линий.

В <Началах> Евклида рассматриваются только такие величины,

которые можно построить циркулем и линейкой, поэтому в <Нача-

лах> не рассматриваются ни площадь круга, ни объемы круглых тел.

По существу, в <Началах> рассматривается не то, что мы называем

пространством Евклида, а только множество точек этого пространства,

которые можно построить циркулем и линейкой.

В соответствии с античной традицией Евклид применял термин

<произведение> только к произведению натуральных чисел, а то, что

мы называем произведением отрезков, Евклид называл прямоугольни-

ком, построенным на этих отрезках. На этом представлении основана

геометрическая алгебра древних греков, изложенная во II книге <На-

чал>. То, что мы называем произведением двух отношений геометри-

ческих величин, Евклид называл отношением, составленным из этих

двух отношений.

Наиболее часто Аполлоний ссылался на предложения II14 и VI23

(т. е. на 14 предложение II книги и на 23 предложение VI книги)

<Начал> Евклида. Первое из этих предложений [9, т. 1, с. 78—79]

позволяет построить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику.

Если стороны прямоугольника равны a и b, то сторона квадрата равна квадрат-

ному корню из ab. Если AB=a и BC=

=b—два отрезка диаметра AC круга,

то сторона квадрата, равновеликого это-

му прямоугольнику, равна перпендику-

ляру BD к диаметру, восставленному

в точке B и доходящему до окружности

круга (рис. 2). Если мы обозначим AB=

=x1, BC=x2, BD=y, то это предложение будет равносильно уравнению

y2=x1x2. (2.1)

Это уравнение называют уравнением окружности ADC с двумя

абсциссами.

Предложение VI23 гласит: <Равноугольные параллелограммы име-

ют друг к другу составное отношение их сторон> [9, т. 1, с. 203—

204]. В силу этого предложения отношение прямоугольника A с гори-

зонтальной стороной a и вертикальной стороной b к прямоугольнику B

с горизонтальной стороной c и вертикальной стороной d составлено

из отношений a/c и b/d (рис. 3).

Во введении к XI книге <Начал> приводятся определения шара

и прямых круговых конуса и цилиндра:

<14. Сфера будет: если при неподвижности диаметра полукруга

вращающийся полукруг снова вернется в то же самое [положение],

из которого он начал двигаться, то охваченная фигура [и есть сфера]...

18. Конус будет: если при неподвижности одной из сторон прямо-

угольного треугольника, [прилежащих] к прямому углу, вращающийся

треугольник снова вернется в то же самое [положение], из которо-

го он начал двигаться, то охваченная фигура [и есть конус]. И если

неподвижная прямая будет равна другой, вращающейся, [той, что]

при прямом угле, то конус будет прямоугольным, если же меньше,

то тупоугольным, если же больше, то остро-

угольным...

22. Цилиндр будет: если при неподвижности одной из сторон прямоугольного параллелограмма, [прилегающих] к прямому углу,

вращающийся параллелограмм снова вернется в то же самое [положение], из которого он

начал двигаться, то охваченная фигура [и будет цилиндром]> [9, т. 3, с. 10].

На рис. 4, а—в, изображены конусы,

определенные Евклидом.

Евклид был также автором геометриче-

ских сочинений <Данные> (Dedomena)

и <О делении фигур> (Peri diaireseo r), астрономического сочинения <Феномены> (Phainomena), а также <Оптики> (Optika) и сочинений

по теории музыки и статике.

Аполлоний во введении к I книге <Кони-

ческих сечений> упоминал не дошедшее до нас

сочинение Евклида <Начала конических сече-

ний> (Ko niko n stoicheia) в четырех книгах.